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Le troisième volume de la collection ORAL CAPES MATHS traite la leçon sur les limites d'une fonction réelle d'une variable réelle. Cette étude est l'occasion rêvée de réviser les bases de l'analyse (et donc les écrits) tout en préparant l'oral du concours.
Les deux premiers chapitres de questions-réponses permettent de s'entraîner sur des questions importantes :
- Sait-on bien définir la limite d'une fonction en un point ?
- Peut-on répondre au jury qui demanderait si l'on peut remplacer des inégalités strictes par des larges dans cette définition, pour connaître le niveau de maîtrise du candidat ?
- Sait-on prouver que vx est continue en retournant à la définition ?
- La fonction x?sin(1/x) est-elle prolongeable par continuité en 0 ?
- Qu'est-ce qu'une asymptote, et comment les rechercher ?
- Etc.
Le lecteur pressé concentrera ses efforts sur les questions A+ et A pour éviter le plus possible de mauvaises surprises pendant l'entretien qui suit l'exposé, et préparer son exposé avec des munitions sûres.
Les rappels de cours permettent de réviser très précisément cette partie du cours d'analyse en conservant l'optique du CAPES : en savoir peu mais bien, avoir du recul sur les notions abordées et faire fonctionner son esprit critique. On se prépare à devenir un professeur de mathématiques, et ce n'est pas une mince affaire !
Les rappels se concentrent sur les limites, la continuité et l'étude des branches infinies d'un arc paramétré. Il est bon de posséder un solide background pour être sûr de soi et prêt à défendre son exposé.
Une proposition d'exposé-type permet de se faire rapidement une idée de ce que peut représenter une leçon de CAPES sur les limites compte tenu des dernières évolutions du concours.
Maintenant, il est possible d'utiliser une présentation Libre Office et de faire des captures d'écran des manuels numériques chargés sur les ordinateurs du concours. On ne s'en privera pas, mais sans excès.
Les 20 minutes d'exposé passent vite et doivent permettre de faire le tour du sujet. Les 40 minutes d'entretien qui suivent serviront à défendre son plan, revenir sur la cohérence de celui-ci en le corrigeant si nécessaire, et répondre à des questions pour montrer son niveau en mathématiques. Un niveau M1 est demandé, et c'est peut dire qu'il faut avoir bien réfléchi en amont sur les notions que l'on présente, pendant toute son année de préparation.
A défaut de « tout savoir », il faut avoir été capable de se concentrer sur l'essentiel, et bien connaître ce qu'on expose.
Un retour sur les programmes du lycée, des commentaires sur l'exposé-type et des compléments divers permettent de terminer ce travail de fond sur les limites.
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